09 November 2011

รูปแบบโครงงานคณิตศาสตร์


บทที่ 1

บทนำ
ที่มาและความสำคัญของโครงงาน

              ตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบันมนุษย์ได้นำรูปร่าง รูปทรงต่างๆ มาเป็นองค์ประกอบในการสร้างงานต่างๆ ทั้งด้านการก่อสร้าง การออกแบบ ผลงานด้านศิลปะ สิ่งของเครื่องใช้ในชีวิตประจำวัน ก็ล้วนใช้ความรู้ทางเรขาคณิตสร้างขึ้น เพื่อให้เกิดความสวยงาม ซึ่งเทคนิคที่ใช้ในการสร้างผลงานเหล่านั้นล้วนเกี่ยวข้องกับสร้างรูปเรขาคณิตและการแปลงทางเรขาคณิต
โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เป็นระบบซอฟต์แวร์ที่ใช้สำหรับสร้าง สำรวจ และวิเคราะห์สิ่งต่างๆ ที่เกี่ยวกับเนื้อหาคณิตศาสตร์หลายด้าน เราสามารถใช้ The Geometer’s Sketchpad สร้างรูปเรขาคณิตได้อย่างหลากหลาย ตั้งแต่ในระดับพื้นฐานซึ่งเกี่ยวกับ จุด เส้นและรูปร่างเรขาคณิตแบบต่างๆ และไปจนถึงการสร้างภาพขั้นสูงที่มีความซับซ้อน และเคลื่อนไหวได้ ตลอดจนใช้ในการสร้างภาพทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนสำหรับใช้ในการทำรายงาน หรือในงานที่ได้รับมอบหมาย หรือทำภาพที่งดงามเพื่อใช้ในการออกแบบด้านอื่นๆ ต่อไป


วัตถุประสงค์ของการศึกษา
1.เพื่อนำความรู้เรื่องโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สร้างภาพทางเรขาคณิต
2.เพื่อแสดงรูปแบบความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตที่เกิดจาก การหมุน การเลื่อนขนาน และการสะท้อน 
3.เพื่อใช้รูปเรขาคณิตต่าง ๆ เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม วงกลม มาตกแต่งผลิตภัณฑ์ให้สวยงาม


บทที่ 2

เอกสารที่เกี่ยวข้องกับการทำโครงงาน


The Geometer’s Sketchpad คืออะไร
                เป็นเวลานับพันปีมาแล้วที่การวาดและการนึกภาพเป็นสิ่งที่สำคัญมาในวิชาคณิตศาสตร์ทักษะเบื้องต้นที่สอนในวิชาเรขาคณิตคือการใช้วงเวียนและเส้นตรงในเรื่องการสร้าง ส่วนในวิชาพีชคณิตมีการเขียนกราฟของฟังก์ชั่น (ปัจจุบันมีการใช้เครื่องคิดเลขกราฟิกช่วยในการเขียนกราฟ) แต่การใช้กระดาษและดินสอสร้างงานยังคงต้องใช้ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งพบว่ามีอุปสรรคที่สำคัญ 2 ข้อ คือ การสร้างแต่ละครั้งต้องใช้เวลา(หรือไม่สะดวก) และเมื่อสร้างเสร็จแล้วรูปที่ได้ก็ไม่มีการเคลื่อนไหว อุปสรรคข้อแรก การใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ อย่างเช่น The Geometer’s Sketchpad จะช่วยแก้ ปัญหาเรื่องเวลาได้ด้วยการใช้คำสั่งต่างๆ เช่น แบ่งครึ่งมุม และสะท้อน ซึ่งจะแสดงผลให้อย่างรวดเร็วเมื่อเปรียบเทียบกับการสร้างบนกระดาษ นอกจากนี้ The Geometer’s Sketchpad ยังช่วยให้เราสามารถสร้างและสำรวจได้หลากหลายวิธี ตั้งแต่อย่างง่ายไปจนถึงซับซ้อนในเวลาอันจำกัด

คณิตศาสตร์แบบพลวัต
              การที่จะเข้าใจถึงพลังความสามารถของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad อย่างแท้จริง จะต้องรู้ถึงอุปสรรคข้อที่สองของการสร้างรูปด้วยกระดาษและดินสอคือ รูปนั้นจะ “นิ่งอยู่กับที่” (เหมือนในรูปในหนังสือ บนกระดาน หรือรูปที่วาดด้วยเครื่องคิดเลขกราฟิก) การสร้างบางอย่างที่ดูเหมือนว่าจะเป็นจริงนั้น (มุมที่กำหนดเท่ากัน) เป็นความจริงเชิงคณิตศาสตร์ แต่บางอย่างดูเหมือนว่าจะเป็นจริงเนื่องจากเป็นสิ่งที่ เลือกสร้างขึ้นมา นับว่าเป็นเรื่องยากที่จะแยกแยะว่าอะไรที่จะเป็นจริงเนื่องจากเป็นสิ่งที่อะไรจะเป็นจริงเสมอ โดยไม่ต้องกลับไปสร้างรูปใหม่หลายๆ รูป ในทำนองเดียวกันอาจจะยากที่จะสรุปเรื่องของวงเส้นโค้งต่างๆ เช่น สมการ y = mx+b โดยไม่ต้องเขียนกราฟของสมการเหล่านั้นๆ หลายๆ เส้น

ตัวอย่าง
            กำหนดให้รังสี r เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม ABC จากรูปที่เห็นซ้ายมือ เสมือนว่ารังสี r แบ่งครึ่งด้าน AC ด้วย ทำให้คิดว่าเส้นแบ่งครึ่งมุมต้องไปแบ่งครึ่งด้านตรงข้างมุมด้วย แต่ละเห็นได้ว่า เมื่อลากจุด B ให้เคลื่อนไป (ดังรูปขวามือ) ข้อสรุปดังกล่าวนั้นไม่เป็นความจริง 
             ความงดงามที่แท้จริงจากการสร้างโดยใช้ Sketchpad คือสามารถทำให้เคลื่อนไหวได้ รุปที่สร้างด้วย Sketchpad สามารถลาก บีบ ให้มีขนาดเล็กลง หรือยืดขยายได้ อีกนัยหนึ่ง คือเป็นการเปลี่ยนแปลงที่ยังคงรักษาสมบัติทางคณิตศาสตร์ไว้เสมอ ขณะที่ทำให้รูปมีการเปลี่ยนแปลง ความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ในขั้นตอนการสร้าง (ตัวอย่าง เช่น ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่ง) จะยังคงมีอยู่เสมอ ส่วนสมบัติบางอย่างที่เปลี่ยนแปลงได้จะเป็นสมบัติที่ไม่ได้กำหนดไว้ในขั้นตอนการสร้างอย่างแท้จริง จะเห็นว่ารูปบน Sketchpad มีการเปลี่ยนแปลง จะทำให้สามารถสำรวจผลที่เป็นไปได้หลายๆ กรณี ตามเงื่อนไขของการสร้าง สิ่งเหล่านี้ทำให้ง่ายต่อการจำแนกระหว่างสมบัติที่เป็นจริงบางครั้ง และสมบัติที่เป็นจริงเสมอในทุกๆ สถานการณ์ที่กำหนดให้ โดยนัยเดียวกัน การเคลื่อนไหวตัวพารามิเตอร์ m และ b ของสมการ y = mx+b เป็นตัวอย่างที่ทำให้สามารถสำรวจวงของเส้นโค้งทั้งหมดด้วยการเขียนกราฟเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

Sketchpad
The Geometer’s Sketchpad เป็นโปรแกรมอเนกประสงค์และนำไปใช้อย่างน่าประหลาดใจ ดังนั้น ขอบเขตของการใช้จึงขึ้นอยู่กับจินตนาการของเราเท่านั้น ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่สามารถทำได้โดยใช้ Sketchpad
          1. การสำรวจและการสอนทฤษฎีบททางเรขาคณิต
หนังสือเรขาคณิตมักจะเต็มไปด้วยทฤษฎีบท สัจพจน์ บทแทรก บทตั้ง และบทนิยาม ซึ่งมีหลายอย่างที่ยากแก่การเข้าใจ หรือแม้จะเข้าใจก็ไม่ลึกซึ้งนัก วิธีที่จะให้เข้าใจ ทฤษฎีบทที่ยากๆ หรือวิธีการสอนเรื่องยากในชั้นเรียน คือการใช้ Sketchpad สร้างแบบจำลองต่างๆ 
         2.การนำเสนอในห้องเรียน
แบบร่างที่นำเสนอเป็นเอกสารของ Sketchpad ที่ได้ออกแบบไว้สำหรับนำเสนอ (หรือเผยแพร่) ไปยังกลุ่มบุคคลต่างๆ เช่น นักเรียน เพื่อนร่วมชั้น หรือครู โดยปกติแบบร่างที่นำเสนอจะมีภาพกราฟิกที่สวยงาม เคลื่อนไหวได้ มีปุ่มแสดงการทำงานต่างๆ และมีเนื้อหาได้หลายหน้า ครูสามารถใช้ Sketchpad ให้เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้การสอนมีประสิทธิภาพ ถึงแม้ว่าจะไม่สามารถสอนในห้องปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ได้ทุกวัน แต่ก็สามารถนำงานมาสาธิตในห้องเรียนที่มีคอมพิวเตอร์เพียงเครื่องเดียวพร้อมเครื่องฉาย LCD ได้ นอกจากนี้นักเรียนยังสามารถนำงานที่สร้างในแบบร่างมาเสนอในชั้นเรียน หรือทำรายงานตลอดจนทำแฟ้มผลงานต่างๆ 
           3.การศึกษารูปต่างๆ จากหนังสือเรียน
เมื่อเราชำนาญในการใช้ Sketchpad แล้วจะพบว่าในการสร้างรูปต่างๆ บนจอคอมพิวเตอร์จะใช้เวลาน้อยกว่าสร้างด้วยมือ นอกจากนั้นในการสร้างรูปด้วย Sketchpad ยังได้เปรียบตรงที่สามารถทำให้รูปนั้นเคลื่อนไหวได้ และสำรวจการเปลี่ยนแปลงได้ ดังนั้นควรพิจารณาใช้ Sketchpad ในการสร้างและศึกษารูปในหนังสือเรียน และในการทำการบ้านตอนกลางคืน (หรือใช้เตรียมอภิปรายในชั้นเรียนได้)
           4.ใช้ Sketchpad ในรายวิชาต่างๆ ของคณิตศาสตร์
จะพบว่า Sketchpad เป็นเครื่องมือที่จำเป็นอย่างยิ่งในรายวิชาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นนักเรียนหรือครู เช่น ในพีชคณิต สามารถใช้ Sketchpad สำรวจความชัน และสมการของเส้นตรง สำรวจสมบัติของพาราโบลา และหัวข้ออื่นๆ ที่ Sketchpad สำคัญอีกหลายหัวข้อ ในวิชา Advanced algebra และ pre-calculus ทั้งนักเรียนและครุสามารถสำรวจการเคลื่อนไหวของวงของฟังก์ชั่นด้วยการใช้คำสั่งต่างๆ จากเมนูกราฟ ใช้ Sketchpad กับวิชาตรีโกณมิติ เพื่อสำรวจความเกี่ยวข้องระหว่างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ ในวิชาแคลคูลัส ใช้สำรวจอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ด้วยการสร้างเส้นสัมผัสเส้นโค้ง และใช้คำสั่งอนุพันธ์ หรือสำรวจปริพันธ์โดยการสร้างพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง นอกจากนี้ Sketchpad ยังสามารถใช้ประโยชน์ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับวิทยาลัย เช่น วิชา non-Euclidean geometry หรือหัวข้อต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง
           5. การสร้างแฟร็กทัล
แฟร็กทัลเป็นรูปเรขาคณิตที่สวยงามสะดุด ซึ่งพบเห็นได้ในธรรมชาติ และเป็นรากฐานที่สำคัญของโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟิกหลายๆ โปรแกรม แฟร็กทัลเป็นรูปเรขาคณิตที่คล้ายกับตัวเอง มันจะดูเหมือนกันไม่ว่าจะขยายในมุมมองใด การสร้างแฟร็กทัลเริ่มจากการสร้างรูปง่ายๆ แล้วทำซ้ำรูปเดิมแต่ให้มีขนาดเล็กลงๆ การใช้คำสั่ง ทำซ้ำของ Sketchpad ช่วยให้สามารถสร้างแฟร็กทัลนี้ หรือการสร้างแบบอื่นๆ ที่ใช้กระบวนการทำซ้ำได้
          6. การวาดภาพที่ได้สัดส่วนเสมือนจริง และรูปศิลปะทางเรขาคณิตแบบต่างๆ 
หากต้องการทำบัตรอวยพร หรือต้องการออกแบบพื้นหลังบน webpage ให้ได้ภาพที่สวยงามไม่ซ้ำแบบใคร สามารถใช้เครื่องมือในเมนูการแปลงของ Sketchpad รวมกับเครื่องมือจากเมนูแสดงผล และจากที่อื่นๆ ก็จะช่วยให้เราสร้างภาพได้อย่างวิจิตรงดงาม ตื่นตา ตื่นใจ

ความรู้พื้นฐานเบื้องต้นในการสร้างเทสเซลเลชัน
            1.รูปที่สมมาตร คือรูปที่มีแนวเส้นตรงที่แบ่งรูปออกเป็นสองส่วน เท่า ๆ กัน โดยแต่ละส่วนเป็นภาพสะท้อนซึ่งกันและกัน แนวเส้นตรงนั้นเรียกว่า เส้นสมมาตร 
            2. การหมุนสมมาตร หมายถึง การหมุนที่กลับมาทับที่เดิมได้สนิทหลังจากการหมุนรอบจุดศูนย์กลาง ไปน้อยกว่า 360 เรียกจุดศูนย์กลางนั้นว่า จุดหมุนสมมาตร ดังเช่น
            3. การเคลื่อนที่ขนาน (Translrion) หมายถึง การเลื่อนรูปไปตามแนวขนานแนวใดแนวหนึ่ง โดยจุดแต่ละจุดเคลื่อนไปในทิศทางเดียวกัน และมีระยะทางเท่ากัน ระหว่างรูปเดิมและรูปใหม่
             4. การสะท้อน (reflection) หมายถึง การพลิกรูปตามแนวเส้นใดเส้นหนึ่ง โดยรูปเดิม และรูปที่เกิดขึ้นใหม่มีความเท่ากัน ดังรูป

ชนิดของเทสเซลเลชัน
          1. Polygonal Tessellations หมายถึง เทสเซลเลชันที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม เช่นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม เป็นต้น โดยแยกเป็นชื่อเฉพาะดังนี้
                   1.1 Reqular Tessellations หมายถึง เทสเซลเลชันที่ประกอบด้วยรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ได้แก่ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น ดังรูป
                  1.2 Semiregular Tessellations หมายถึง เทสเซลเลชันที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าตั้งแต่ 2 รูปขึ้นไป เรียกชื่อตามด้านของรูปเหลี่ยมที่มาประกอบกันที่จุด Vertex ดังรูป
หมายเหตุ Semiregula Tessellations 
มีเพียง 8 รูปเท่านั้น 
                  1.3 Nonregular Polygonal Tessellations หมายถึง เทสเซลเลชันที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ที่ไม่ใช้ regular Polygons ดังรูป 
          2. Nonpolygonal Tessellations หมายถึง เทสเซลเลชัน ที่ประกอบด้วยรูป ปิดที่ไม่ใช่ polygons ทั้งหมด ดังรูป


บทที่ 3

วิธีดำเนินการศึกษา


              ตอนที่ 1 กิจกรรมการสร้างพื้นฐานด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 
1.จัดตั้งกลุ่มโครงงาน ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก 3 คน แล้วปรึกษาครูที่ปรึกษาโครงงานเรื่องการเรียนโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เพื่อขอคำแนะนำ
2..ใช้เวลาพักกลางวันและหลังเลิกเรียนเพื่อศึกษาเกี่ยวกับโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และค้นคว้าความรู้เรื่องเรขาคณิตในอินเตอร์เน็ต
3. ประชุมกลุ่มและอาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานเพื่อเขียนเค้าโครงในการทำโครงงานพร้อมทั้งวางแผนและกำหนดแนวทางในการดำเนินงาน
                ตอนที่ 2 กิจกรรมการออกแบบลวดลายเทสเซลเลชัน
ในการทำกิจกรรมการออกแบบลวดลายเทสเซลเลชัน เริ่มจากศึกษาให้เข้าใจความหมายของเทสเซลเลชันก่อนลงมือออกแบบลวดลาย ดังกิจกรรมที่นำเสนอต่อไปนี้
             1.ศึกษาวิธีการสร้างรูปเรขาคณิตต่าง ๆ เช่น จุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง วงกลม สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สามเหลี่ยม หกเหลี่ยมด้านเท่า หรือรูปเหลี่ยมอื่น ๆ ด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 
จุด . ส่วนของเส้นตรง 
เส้นตรง 
รูปสามเหลี่ยมต่างๆ


รูปสี่เหลี่ยมต่างๆ


รูปวงกลม


รูปหลายเหลี่ยม


               2. ใช้รูปเราขาคณิตเพียงรูปเดียว เช่น สามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยมด้านเท่าหรือหกเหลี่ยมด้านเท่า วงกลม หมุน เลื่อนขนาน สะท้อน ในการออกแบบลวดลาย
               3 จะได้รูปภาพในลักษณะนี้ที่พบในชีวิตประจำวัน เช่น บนทางเท้าพื้นที่บุด้วยกระเบื้อง หรือลวดลายที่ฝาผนัง 

6. ออกแบบลวดลายเทสเซลเลชันที่ซับซ้อนขึ้น เช่น การใช้รูปเหลี่ยมตั้งแต่ 2 แบบ ขึ้นไป การใช้รูปที่ไม่ใช้รูปด้านเท่ามุมเท่า 
1.การใช้การเลื่อนขนาน ดังตัวอย่าง


2. โดยการใช้การหมุน ดังตัวอย่าง


3.โดยใช้การสะท้อน ดังตัวอย่าง


ตอนที่ 3 ประชุมเพื่อกำหนดรูปแบบผลงาน
1.ประชุมเพื่อปรึกษาและกำหนดรูปแบบการออกแบบลวดลายเทสเซลเลชั่น และการนำไปใช้
2.แบ่งการออกแบบงาน แล้วนำเสนออาจารย์ที่ปรึกษาโครงงาน อภิปรายปัญหาต่างๆ และรับฟังข้อเสนอแนะ
3.ปรับปรุงแก้ไขผลงาน แล้วสรุปผล
4.จัดทำรายงานโครงงานคณิตศาสตร์
5.นำเสนอโครงงานคณิตศาสตร์



บทที่ 4

ผลการศึกษา


1.รูปที่เกิดจากการหมุน


2.รูปที่เกิดจากการเลื่อนขนาน


3.รูปที่เกิดจากสะท้อน



บทที่ 5 

สรุปผลการดำเนินงาน


สรุปผล 
            จากผลการศึกษาสรุปได้ว่ารูปเรขาคณิตที่ใช้ในการออกแบบที่มีใช้มากที่สุดคือ รูปวงกลมเนื่องจากสามารถหมุน กำหนดมุม สร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าต่อไปได้หลากหลายรูปแบบ และใช้แทนวงเวียนในการสร้างรูปได้อย่างแม่นยำ การแปลงทางเรขาคณิตที่ใช้มากที่สุดคือการสะท้อน เนื่องจากสามารถสร้างรูปที่มีความสวยงามสะดุดตา และสามารถกำหนดการสะท้อนได้หลากหลายมุมมอง 

ข้อเสนอแนะ 
1.ควรออกแบบรูปเรขาคณิตโดยใช้เทคนิคที่ซับซ้อนขึ้น
2.ผลิตภัณฑ์ที่สร้างสรรค์ขึ้นสามารถนำไปสร้างเป็นหนึ่งโรงเรียนหนึ่งผลิตภัณฑ์เพื่อสร้างรายได้ต่อไป

ประโยชน์ที่ได้รับ 

1.สามารถนำไปตกแต่งผลิตภัณฑ์ต่างๆ ให้สวยงาม น่าสนใจ และน่าใช้ 
2.สามารถเพิ่มมูลค่าผลิตภัณฑ์ และเป็นแนวทางในการตกแต่งผลิตภัณฑ์ให้สวยงาม 
3.เป็นการฝึกทักษะการสร้างรูปเรขาคณิต และการแปลงทางเรขาคณิต 
4.เป็นการใช้เวลาว่างให้เกิดประโยชน์
5.สร้างเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ 



โครงงานกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เรื่องการออกแบบลวดลายเทสเซลเลชั่นด้วยโปรแกรม 
SKETCHPAD


ผู้จัดทำ
1.เด็กชายสิทธิชัย พ่วงจีน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/1
2.เด็กหญิงมุกดามาศ กลัดทอง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1/1
3.เด็กหญิงสายรุ้ง เอี่ยมอ้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1/1


อาจารย์ที่ปรึกษา
นางสาวปั้นหยา สุขโรจน์บัณฑิตย์




โรงเรียนบ้านด่านลานหอยวิทยา
สังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาสุโขทัย เขต 1

บทคัดย่อ
              ในการสร้างผลงาน ด้านศิลปะ การออกแบบ การก่อสร้าง และสิ่งของเครื่องใช้ในชีวิตประจำวันล้วนเกี่ยวข้องกับการสร้างรูปเรขาคณิตและการแปลงทางเรขาคณิต โครงงานคณิตศาสตร์นี้นำโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ช่วยเพื่อนำความรู้เรื่องโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สร้างภาพทางเรขาคณิต แสดงรูปแบบความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตที่เกิดจาก การหมุน การเลื่อนขนาน และการสะท้อน และเพื่อใช้รูปเรขาคณิตต่าง ๆ เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม วงกลม มาตกแต่งผลิตภัณฑ์ให้สวยงาม ผลการศึกษาพบว่ารูปเรขาคณิตที่ใช้ในการออกแบบที่มีใช้มากที่สุดคือ รูปวงกลมเนื่องจากสามารถหมุน กำหนดมุม สร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าต่อไปได้หลากหลายรูปแบบ และใช้แทนวงเวียนในการสร้างรูปได้อย่างแม่นยำ การแปลงทางเรขาคณิตที่ใช้มากที่สุดคือการสะท้อน เนื่องจากสามารถสร้างรูปที่มีความสวยงามสะดุดตา และสามารถกำหนดการสะท้อนได้หลากหลายมุมมอง 


คำนำ
           คณะผู้ทำโครงงานขอขอบพระคุณอาจารย์ปั้นหยา สุขโรจน์บัณฑิตย์ เป็นอย่างสูงที่กรุณาให้คำปรึกษาเกี่ยวกับการทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่องการออกแบบลวดลายเทสเซลเลชั่นด้วยโปรแกรม Sketchpad และสอนเกี่ยวกับโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ภายหลังการใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสร้างรูปเรขาคณิตทำให้คณะผู้ทำโครงงานได้รับความกระจ่างด้านเรขาคณิต และเข้าใจเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตดีขึ้นและสามารถนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ได้ต่อไปในอนาคต


คณะผู้ทำโครงงาน
1.เด็กชายสิทธิชัย พ่วงจีน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/1
2.เด็กหญิงมุกดามาศ กลัดทอง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1/1
3.เด็กหญิงสายรุ้ง เอี่ยมอ้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1/1